Навчання › Математика за темами › Рівняння, відношення й пропорції

Пояснюємо тему

Рівняння, відношення й пропорції

Алгебраїчне мислення починається тоді, коли дитина помічає зв’язок і може його пояснити. У 7 + □ = 12 треба знайти невідомий доданок. У 3 · x = 24 літера виконує ту саму роль. Формальні відношення й пропорції належать до продовження в базовій школі; не потрібно подавати їх першокласнику як нові формули.

Від віконця до залежності

1. Рівність — баланс значень

Запис 8 + 4 = 7 + 5 правильний: обидві частини дорівнюють 12. Після знака рівності не обов’язково стоїть одне число. Намалюйте дві таці з рівною кількістю фішок. Це допомагає побачити рівність як зв’язок, а не як команду «тепер напиши відповідь».

2. Невідомий компонент

У x + 7 = 19 невідомий доданок дорівнює 19 − 7 = 12. Перевірка: 12 + 7 = 19. У 20 − x = 8 невідоме є від’ємником, тому x = 20 − 8 = 12. Не вчіть правило «побачив мінус — додавай» без називання компонента: від місця невідомого залежить дія.

У x : 4 = 6 невідоме ділене дорівнює 24. У 24 : x = 6 невідомий дільник дорівнює 4. Підстановка одразу перевіряє обидва результати. Дільник не може бути нулем.

3. Закономірність потребує пояснення

Для послідовності 3, 6, 9, 12 природне навчальне правило — щоразу додавати 3. Наступне число тоді 15. Але кілька записаних чисел самі по собі не доводять єдиного можливого правила. У завданні краще сказати «продовж, щоразу додаючи 3» або попросити дитину запропонувати й пояснити власне правило.

4. Формула описує зв’язок

Якщо ціна одного однакового зошита a грн, а купили n зошитів, загальна вартість a · n грн. Для a = 12 і n = 4 отримуємо 48 грн. Літера не є назвою конкретного предмета: вона позначає число. У формулі периметра P = 2 · (a + b) літери a і b — довжини сторін.

5. Відношення та пропорція

У 6 класі відношення 2 : 3 може описувати кількості жовтих і синіх фішок. Разом це п’ять рівних частин, а не три. Якщо всього 20 фішок, одна частина — 20 : 5 = 4; жовтих 8, синіх 12. Перевірка: 8 : 12 = 2 : 3.

За сталої ціни 3 однакові зошити коштують 45 грн. Один коштує 15 грн, п’ять — 75 грн. Це прямопропорційна залежність: збільшення кількості в кілька разів так само збільшує вартість. Пропорція 3 : 5 = 45 : 75 описує відповідність. Спочатку зручно знайти ціну одиниці.

Коли пропорція не підходить

Якщо до вартості зошитів додається стала доставка 30 грн, загальна сума не зростає прямо пропорційно кількості. Для одного зошита по 15 грн разом 45 грн, для двох — 60 грн, а не 90 грн. Перш ніж складати пропорцію, перевірте, що саме лишається сталим.

Для масштабу 1 : 100 один сантиметр на плані відповідає 100 см у дійсності. Відрізок 4 см відповідає 400 см, або 4 м. Спочатку узгодьте одиниці: відношення масштабу порівнює довжини, записані в однакових одиницях.

Типові труднощі

Дитина може знати алгоритм і не розуміти запитання. Попросіть словами пояснити x: «скільки бракує», «скільки було спочатку» або «скільки в кожній групі». Для задачі на відношення намалюйте окремі рівні частини й лише потім підставляйте загальну кількість.

Перевірка невідомого на конкретній ситуації

У коробці було кілька олівців. Додали 7, стало 19. Рівняння x + 7 = 19 описує невідому початкову кількість. Намалюйте цілу смужку 19 та відому частину 7. Невідома частина — 12. Якщо дитина пропонує 26, запитайте, чи може після додавання семи кількість зменшитися до дев’ятнадцяти.

Змініть історію: спочатку було 19, частину забрали, залишилося 7. Рівняння 19 − x = 7 теж має розв’язок 12, але невідоме означає забрану кількість. Той самий результат не означає, що всі рівняння розв’язувалися однією й тією самою дією за однаковим правилом.

Таблиця залежності

Нехай один зошит коштує умовні 15 грн. Для кількостей 1, 2, 3 і 4 вартість становить 15, 30, 45 і 60 грн. У кожному рядку вартість, поділена на кількість, дорівнює 15. Це стала ціна одиниці, яка пояснює пряму пропорційність.

Попросіть передбачити вартість семи зошитів: 105 грн. Можна помножити 15 на 7 або додати вартість трьох і чотирьох зошитів: 45 + 60 = 105. Два способи допомагають побачити одну залежність.

Відношення частин і частка цілого

Якщо жовтих і синіх фішок 2 : 3, жовті становлять 2/5 усіх фішок. Знаменник 5 походить від суми частин, а не від кількості синіх частин. Сині становлять 3/5. Разом ці частки дають 1. Попросіть пояснити, чому відношення 2 : 3 не означає, що жовтих дві третини від усіх.

Для самостійного прикладу візьміть відношення 1 : 4 та загальну кількість 30. Одна частина — 6, кількості — 6 і 24. Перевірте і суму, і відношення: 6 + 24 = 30; 6 : 24 = 1 : 4. Обидві перевірки потрібні, бо кожна підтверджує свою умову.

Коли рівняння допомагає поясненню

Нехай три однакові набори й окрема листівка за 5 грн разом коштують 41 грн. Якщо ціна набору x грн, маємо 3 · x + 5 = 41. Спершу на набори припадає 36 грн, потім на один — 12 грн. Перевірка: 3 · 12 + 5 = 41.

Літера тут не ускладнює сюжет, а зберігає місце невідомої ціни. Попросіть дитину пояснити, чому спочатку віднімаємо п’ять і лише тоді ділимо на три. Якщо почати з ділення всієї суми, окрема листівка помилково розподілиться між наборами. Схема з трьох рівних частин і додаткової п’ятірки робить порядок видимим.

Орієнтир за класами

Добирайте вправи за програмою школи й готовністю дитини; таблиця показує напрям роботи.

Чотири короткі вправи вдома

Терези

Викладіть 6 + 4 фішки з одного боку й 7 + 3 з іншого. Поясніть рівність без лічби з початку.

Знайди віконце

Розв’яжіть □ + 9 = 17: відповідь 8. Дитина складає новий приклад.

Однакова ціна

Два олівці коштують 16 грн. П’ять таких — 40 грн, якщо ціна одиниці стала.

Кольорове відношення

Викладіть фішки у відношенні 1 : 2: одну жовту й дві сині. Подвойте всі групи, не змінюючи відношення.

Аркуші для практики

Знаходимо невідоме число3 клас, 4 клас, 5 клас · Доповнюємо рівностіЗавантажити PDF

Великий шрифт · Полегшене читання

Шрифт Брайля (BRF) (2 КБ) · Текст шрифтом Брайля (4 КБ)

Короткі відповіді

Читайте далі

Повідомити про помилку